摘要：数学符号在精确表达数学概念、方法和逻辑关系中具有重要作用.根号符号作为数学符号的代表性成果之一，经历了根号符号从古埃及、阿拉伯到欧洲数学界的演变过程，可以概括为四个主要发展阶段.基于此探讨了如何将根号的发展融入数学教学之中，以培养学生的历史意识和批判性思维.数学符号不仅是科学语言的重要组成部分，也是人类智慧和抽象思维的进步体现，学习其发展史对学生理解和热爱数学至关重要.
关键词：根号；发展史；数学教学；文化渗透
德国哲学家卡西尔（E.Cassirer）将人定义为符号的动物.他指出，符号化的思维和符号化的行为是人类生活的代表性特征之一.［1］同样，数学符号的出现是数学诞生与发展的关键标志.正如德国数学家克莱因（F.C.Klein）所说：“如果没有专门的符号和公式，简直就不可能有现代数学.”［2］使用符号代替文字叙述，是数学的一大特征，数学符号以其简洁、优雅、和谐和独特性展现出艺术与科学的双重美感.数学符号的演化史是一部引人入胜的史诗，根号符号亦是如此，根号的表示方式主要经历了四个发展阶段，基本符号分别为、l、√以及分数指数.
1早期形式与符号“”
根号符号在数学发展的早期就出现了.平方根的符号“”出现在埃及卡洪城的两张纸草书上，分别在英国埃及学家格里菲斯（F.L.Griffith）以及德国学者沙克沙肯堡（H.SchackSchackenburg）的文章中论及.［3］
9世纪，花剌子模（AlKhwarizmi）在其代数学著作中较系统地讨论了二次方程解法，他将二次项（x2）视为主要的未知数，用阿拉伯语“māl”表示，一次项（x）则被认为是“māl”的平方根，被称作“jidhr”.阿拉伯语中的“jidhr”原意为树根、基础或根本.［4］
12世纪初，许多阿拉伯文著作被翻译成拉丁文，译者使用拉丁词“radix”对应阿拉伯语的“jidhr”.“radix”原本也意指树根或事物的根基.
符号“”首次出现在德国数学史学家、教育家库尔茨（M.Curtze）的欧几里得《几何原本》拉丁文译本第十卷的注释之中，“radix”表示“平方根”.后来，符号“”被广泛地用于表示“根”，但偶尔也用于表示未知量x的一次幂.意大利数学家斐波那契（Fibonacci）的算术著作和意大利数学家卢卡·帕乔利（L.Pacioli）的《算术、几何、比及比例概要》中曾既用“”表示“未知数”，又表示“平方根”.
在被称为“德累斯顿手稿C.80”的德文手稿中，有一个由小写字母组成的带有花体笔画的符号（如图1），被一些学者解读为在字母r上多加一个笔画.捷克数学家维德曼（Widman）1489年的算术著作中出现了“”和缩写形式“ra”.
1556年，意大利数学家塔尔塔利亚（N.Tartaglia）广泛使用了“”，同时还使用括号辅助表达.1575年，意大利数学家莫罗利库斯（F.Maurolico）在其1575年的《数学作品集》中用“r.18”表示“18”.可见在16世纪的意大利，符号“”已被广泛使用.
虽然直到17世纪末，一些著作中“”依然被使用，如1690年维塔利斯（H.Vitali）在其文章《代数》中用“R2”表示立方根，但使“”逐渐失去其主流地位，取而代之的是符号“√”的普遍流行.
2符号“l”
公元2世纪，罗马测量员尼普苏斯（J.Nipsus）在数学中引入拉丁文“latus”表示根号.法国教育改革者拉姆斯（P.Ramus）用符号“l”表示根号，如“l27adl12”为“l75”，即27+12=75.
舍纳（L.Schoner）1592年的《算术两卷和代数学两卷》中，用“lc4”表示34，这种写法代替了拉姆斯的“ll5.”.
值得注意的是，舍纳赋予了“l”更广泛的含义，即“5l”和“l5”分别表示“5x”和“5”.当“l”后面没有数字时，“l”代表未知量的一次幂.法国数学家韦达（F.Vieta）也使用拉姆斯的符号“l”，他不倾向于用“”或“√”来表示根.1624年，英国数学家布里格斯（H.Briggs）分别用l、l（3）、ll表示平方根、立方根和四次方根，但这种在根式运算中使用字母“l”的做法从未广泛流行.在发明对数后，“l”被用于表示对数.
3符号“√”
符号“√”起源于德国.18世纪有些学者，如瑞士数学家欧拉（L.Euler）猜想“√”是字母“r”的变体，即“radix”的首字母.后来通过对德文代数学手稿更为细致的研究，证明并不是这样.原来德国人在1480年前后，用一个点“·”来表示平方根［5］，以下四部代数学手稿为该问题的研究提供了依据.
最古老的一部手稿现藏于德累斯顿图书馆，收录在代数学论文手稿集中.［6］其中一篇约写于1480年的拉丁文手稿中，使用点号来表示开方，在被开方数字前加一个点（.）表示平方根，两个点（..）表示平方根的平方根，三个点（...）表示立方根，四个点（....）表示立方根的立方根或九次方根.
第二部手稿是维也纳MS第5277号文件，其中可以找到“通过点理解根”的表述，但实际上手稿中并没有用点来表示根.
第三部手稿即哥廷根抄本Philos.30，是载于《代数学入门》的拉丁文信件，约写于1524年之前.其中根的符号使用小点带上一条尾巴变成，可能是写快时带上的，后面跟着一个表示根指数的符号，如表示平方根，ce表示立方根.
第四部手稿由里斯（A.Riese）1524年据第一部手稿编写，1892年印刷.对根号的表示，尽管出现了“点”这个词，但里斯使用的是带有笔画的点.
通过对四部手稿的研究，表明点作为一种符号与开方运算有关.第一部手稿中，点实际上是作为根号出现的.第二部手稿中，点虽然没有作为符号出现，但在正文中有所提及.第三和第四部手稿中，纯粹的点并未出现在表示根的符号中，而是使用了附有笔画或尾巴的点.但问题是，代数符号“√”是否起源于点.近年来的德国学者赞成这种观点，但证据并不确凿.
在鲁道夫时代之后，根号“√”主要表示根指数、二重根式或多重根式的复合.荷兰数学家斯蒂文（S.Stevin）将带圆圈的数字3放在“√”后面，即“√③”表示立方根，这种使用数字的方法虽得到公认，但未被普遍采用.一个世纪以来，关于数字相对于“√”的确切位置，一直存在着很大的分歧.
1637年，通用的根号得以确立.法国数学家笛卡儿（R.Descartes）的《几何学》不仅创立了解析几何［7］，而且为现代根号符号的发展奠定了基础.该著作中写道：“如果我想求a2+b2的平方根，就写作a2+b2，如果想求a3-b3+abb的立方根，则写作c.a3-b3+abb.”［8］
笛卡儿改进了鲁道夫、斯蒂文所使用的“√”，在其上方添加了一个括线“—”，即用“”表示平方根，从而创造了表示平方根的便捷新符号.［9］
根号√和括线的这种组合深受人们的喜爱，到现在其依然在数学书籍中占据着重要的地位.
在中国，李善兰在翻译西方数学书籍时首次将根号“”引入中文数学文献.随后，在1896年出版的《代数备旨》中，根号“”被进一步使用和普及.
4分数指数
分数指数最早出现在法国人奥雷斯姆（N.Oresme）的《比例算法》中，他把212写作2122p.［10］
西方最早完整地提出分数指数的是英国数学家沃利斯（J.Wallis）.1655年，沃利斯在其《无穷算术》中指出“‘平方根倒数’的数列11，12，13，…的指数是-12”［11］，即用数字表示根（分数）指数.这是一个巨大的进步，不过沃利斯并没有真正使用2-1、2-12的指数符号，只是说14、12的指数是-2和-12.［12］
现行的分数指数符号是由英国数学家牛顿（I.Newton）创立的.1676年，牛顿在致伦敦皇家学会秘书长奥尔登堡（H.Oldenburg）的信中提到这一符号，说道：“因为代数学家将aa，aaa，aaaa写成a2，a3，a4，所以我将a，a3，c·a5写成a12，a32，a53；又将1a，1aa，1aaa写成a-1，a-2，a-3，将aac·a3+bbx写成aa×（c·a3+bbx）-12.”［13］
牛顿1761年的《通用算术》（卡斯蒂利亚版）中也有这个符号.此外，欧拉在1774年也使用了这种分数指数的表示方法.
回顾根号“”的使用，尽管笛卡儿在完善根号符号方面做出了巨大贡献，但他错过了一个做出更大贡献的绝佳机会.如果笛卡儿不是通过在“√”上添加括线来扩展它的应用，而是完全抛弃根号，同时引入分数指数的符号，那么可以预见，根号的进一步使用将会受阻并被遏制，像b34和4b3这样表示重复含义的符号会被避免，一代又一代的学生就不必掌握两种困难的运算符号，而只需用分数指数符号就可以达到运算目的.但笛卡儿错过了这个机会，后来的牛顿也是如此，尽管他引入了分数指数的符号，但他依然保留并使用了根号.
5教学中的文化渗透
在实际的数学教学中，渗透和融入根号符号的发展历史可以通过以下三种方式进行.
5.1故事讲述法
教师进行无理数相关内容的教学设计以及教学实践中，可以通过讲述根号符号的历史故事来吸引学生的注意力.在介绍根号的基本运算之前，用几分钟时间概述根号符号的起源和发展，让学生对即将学习的内容有一个文化和历史的背景认识.例如，从古埃及的纸草书到阿拉伯的代数学，再到欧洲的数学家如何逐步发展和完善根号符号，这些故事可以帮助学生理解符号的演变过程，并且激发他们对数学历史的兴趣.
5.2历史与现代结合法
教师在讲解根号的现代应用时，可以穿插介绍历史上的数学家是如何使用不同的符号来解决类似问题的.例如，教师可以展示沃利斯是如何使用分数指数来表示根号的.通过对比历史方法和现代方法，学生可以更好地理解数学概念的发展和演变，以及现代符号的优越性，更深刻地理解现代根号符号的简洁性和表达的精确性，也能够锻炼他们的批判性思维能力.
5.3实践活动法
教师可以设计一些实践活动，让学生使用历史上的根号符号来解决数学问题，如使用“”或“l”来表示根号，并让他们尝试用这些古老的符号来解决现代问题.通过实践活动，学生可以亲身体验历史上的数学家是如何思考和解决问题的，这种体验可以帮助他们更深入地理解数学符号的重要性和实用性，体会根号的发展演变是数学家集体智慧的结晶.
6结语
历史上首位数学史教授弗洛里安·卡约黎（F.Cajori）曾说：“数学符号的历史构成了数学过去和现在状况的一面镜子，可以用来解决数学现在面临的符号问题.”［14］数学符号，尤其是根号的演变史，见证了人类智慧的进步和数学抽象思维的不断深化.数学符号以其独特的形式和内涵，承载了数学的逻辑之美.将根号的发展历程融入教学，不仅能够传授知识，还能培养学生的历史意识、文化素养和批判性思维，使他们更加全面地理解数学和其在人类文明中的作用.数学符号的发展史是一部人类智慧的变迁史，它不仅记录了数学的过去，也照亮了数学的未来.通过学习和理解符号的演变，能更好地把握数学的本质，激发学生对数学的热爱，并为数学的进一步发展贡献力量.
参考文献
［1］恩斯特·卡西尔.人论［M］.北京：光明日报出版社，2009.
［2］孙兴运.数学符号史话［M］.济南：山东教育出版社，1998.
［3］［14］FlorianCajori.AHistoryofMathematicalNotationsVolumeⅠNotationsinElementaryMathematics［M］.Illinois：TheOpenCourtPublishingCompany，1928.
［4］［5］梁宗巨.世界数学史简编［M］.沈阳：辽宁人民出版社，1980.
［6］M.Cantor.VorlesungenberGeschichtederMathematik，Vol.II（2.Auf.）［M］.Toronto：LeipzigB.G.Teubner，1900.
［7］徐品方.笛卡儿［M］.成都：四川少年儿童出版社，1997.
［8］R.Descartes.LaGéométrie［M］.Paris：A.Hermann，LibrairieScientifique，1886.
［9］［12］徐品方，张红.数学符号史［M］.北京：科学出版社，2006.
［10］HansWussing，WolfgangArnold.BiographienbedeutenderMathematiker［M］.VolkundWissenVolkseigenerVerlag，1989.
［11］D.E.Smith.ASourceBookinMathematics［M］.NewYork：McGrawHillBookCompany，1929.
［13］J.F.Scott.AHistoryofMathematics［M］.London：Tayloramp;FrancisLtd.，1969.
*基金项目：内蒙古自治区博士研究生科研创新项目“中国概率论与数理统计发展史研究（1880—1949）”（项目编号：B20231055Z）；内蒙古师范大学基本科研业务费专项资金资助项目“中国概率论与数理统计发展史研究（1880—1949）”（项目编号：2022JBXC019）.